تمرن لحل معادلات

مرحبا طلابي الاعزاء ساقوم بارفاق اوراق عمل للتمرن بموضوع حل معادلات ارجو منكم حلها اذا كان اي استفسار ارجو ان تقوموا بالتعقيب واقوم بالرد .
شكراً وعملاً ممتعاً

الدرس 2 : حل معادلات من الدرجة الاولى بمجهول واحد

عزيزى الطالب سنتعرف في هذا الدرس على كيفية حل معادلة الدرجة الاولى فى مجهول واحد ، , و تسمى ابضا بالمعادلة البسيطة نظرا لانها ابسط انواع المعادلات.

لو نظرنا الى المثال الاتى :
س + 4 = 7 يمكن ترجمة هذه المعادلة الى السؤال التالي:

ما هو العدد المجهول الذي اذا اضيف الى العدد 4 كان الناتج 7 ?

اعتقد انك ستتوصل الى الاجابة بسرعة ... نعم ... العدد هو 3 ( لاحظ ان المجهول هنا هو الرمز س).

حسنا ... سأعطيك مثال اخر و هو : 3س =15

انت تعلم عزيزى الطالب ان 3س تعنى ان العدد 3 مضروب فى الرمز س كما درست فى باب الحدود الجبرية، و بذلك يمكننا ان نترجم المعادلة الى السؤال التالي :

ما هو العدد المجهول الذي اذا ضربناه فى العدد 3 كان الناتج هو العدد 15 ?

طبعا ستكون اجابتك هي العدد 5 .

الدرس1 : مفهوم المعادلة

المعادلة عبارة عن تعبيرين جبريين يوجد بينهما اشارة مساواة .
تعبير جبري = تعبير جبري
ساقوم بعرض المفهوم في العارضة وكيف تم اثبات ذلك.
ارجو منكم التوجه للعارضة للمتابعة .

حل معادلات تربيعية عند الخوارزمي بالطريقة الجبرية

حل الخوارزمي للمعادلة التربيعية بالطريقة جبرية:

هذه المسألة أُخذت من كتاب الخوارزمي:"مالان وعشرة جذور تعدل ثمانية وأربعين درهماً" وكيفية الحل كما يلي:

"مالان إذا جُمعا، وزيد عليهما مثل عشرة جذور أحدهما بلغ ثمانية وأربعين درهماً، فينبغي أن ترد المالين إلى مال واحد، وقد علمت أن مالاً من مالين نصفها، فاردد كل شيء في المسألة إلى نصفه،( فكأنه قال: مال وخمسة أجذار يعدل 24 درهماً) ننصَّف الأجذار فتكون اثنين ونصفا، فاضربهما في مثلها فتكون ستة وربعاً، فزدها على الأربعة والعشرين، فيكون ثلاثين درهماً وربع درهم، فخذ جذرها وهو خمسة ونصف، فانقص منها نصف الأجذار، وهو اثنان ونصف، يبقى ثلاثة، وهو جذر المال، والمال تسعة."

والحل بالرموز كما يلي:

المال = 
الجذر =x
العدد = 48

المعادلة هي:
لإيجاد الحل بطريقة الخوارزمي:
1- تبسيط المعادلة من مالين إلى مال واحد يعني :

2-تنصف الأجذار يعني:
3-مضاعفة نصف الأجذار يعني:
4- زيادة الدراهم (للعدد)يعني  :  

5-نأخذ جذرها:

6-، فانقص منها نصف الأجذار(نصف معامل x):            

7-النتيجة 3 هي الجذر، والمال يساوي 9. أي  و

نرى أن الخوارزمي أخذ الحل الموجب للمعادلة.

مشاركة الخوارزمي في حل معادلات

الجبر والمقابلة:

قد ألف الخوارزمي كتاب "الجبر والمقابلة" الذي يُعتبر أحد أشهر الكتب الرياضية  في القرن الثالث الهجري / التاسع الميلادي. حيثُ يعد ظهور هذا الكتاب حدثا مميزا في تاريخ الرياضيات فكانت هذه هي المرة الأولى التي تظهر فيها كلمة جبر. ولم تخفُ أهمية هذا الحدث على الرياضيات في ذلك القرن أو القرون التي تلته. فقد ظل الكتاب يشكل مصدر إلهام للرياضيين العرب، وعلماء أوروبا حتى القرن الثامن عشر الميلادي.

فكلمة جبر تعني "الإكمال إلى حد التمام"، والمقابلة تعني "المقابلة بين المجاهيل والمعاليم".

والغريب أن حافز تأليف هذا الكتاب هو تطبيق العلم على قوانين الشريعة لحل مشاكل الإرث الإسلامي، ولأن القرآن الكريم أهتم بتقسيم التركة و تحديدها تحديداً دقيقا، فكان لزاماً على المسلمين إيجاد طرق أسهل وأدق يمكن بها حساب التقسيم الشرعي للتركات حيث كانت حسابات العرب حينها مأخوذة عن رياضيات الإغريق فكانت غاية فى التعقيد، وهذا ما دفع الخليفة المأمون إلى أن يطلب من الخوارزمي تأليف كتاب "الجبر و المقابلة" حتى ينتفع منه الناس في مواريثهم ومقسماتهم وأحكامهم  تجاراتهم،  كذلك فيما يختص بتقسيم الأراضي و تحديد مساحاتها وفى مختلف مجالات الهندسة.

ويبدأ الخوارزمي كتابه بتحديد ما يعرف اليوم (التعابير الأولية). وقد اقتصرت على معالجة المعادلات من الدرجة الأولى والثانية وذلك انسجاما مع متطلبات الحل بواسطة الجذور ومع مستوى معارفه في هذا المجال. وهذه التعابير الأولية كانت: المجهول الذي أسماه "الجذر"أو الشيئ"، ومربع المجهول الذي أسماه "المال"  والأعداد العقلانية الموجبة والقوانين الحسابية ( جمع، طرح، ضرب، قسمة ) وعلاقة المساواة،  ومن هنا كانت بداية إدخال مفاهيم معادلة الدرجة الأولى ومعادلة الدرجة الثانية وثنائيات الحدود وثلاثياتها الملازمة لهذه المعادلات وبرهان صيغة الحل.

لمحة تاريخية لحل معادلات عند الهنود الحمر

الهنود الحمر
كما عرف الهنود علم الجبر فقام (إرمابهاتا) بإيجاد عدد حدود المتوالية الحسابية التي عرف منها الحد الأول و الأساس و جموع الحدود ، ووضح (برهما جوبتا ) في القرن السابع ميلادي قاعدة لحل معادلات الدرجة الثانية .

حل معادلات عند البابليين والاغريق

البابليون
 في حوالي 2000 ق م وضع البابليون القدماء جداول للمربعات والمكعبات وحلوا معادلات الدرجة الثانية والثالثة.

الإغريق
 كما عرف الإغريق الحل الهندسي لمعادلات الدرجة الثانية في عصر فيثاغورس، وقد لمس الإسكندريون الحاجة إلى علم الجبر فبحث (ديوفانتس) الذي عاش في الإسكندرية في القرن الثالث الميلادي (250م) في حل معادلات الدرجة الثانية ذات المعاملات الموجبة .

لمحة تاريخية لحل معادلات

الفراعنة

لقد استعملوا المصريون القدماء معادلات من الدرجة الأولى و حلوها بطرق مختلفة كما عرفوا معادلات من الدرجة الثانية و حلوا مسائل تتعلق بها، وأقدم ما عُرف في علم الجبر عند المصريين موجود في بردى الكاتب المصري (أحمس) التي نسخها نحو 1650ق م ، وهو يذكر أنه نقل هذه البردية عن أصل يرجع إلى نحو 1850ق م ، و يبدو من المعلومات الرياضية الموجودة في هذه البردية تعود إلى أيام فرعون زوسر أحد ملوك الأسرة الثالثة (نحو 3000ق م ) ، و صاحب هرم سقارة المدرج أقد الأبنية الحجرية في مصر و فيها نجد ما يدل على أن المصريين القدماء قد عرفوا المتواليات العددية و المتواليات الهندسية و قد عرفوا أيضا معادلات من الدرجة الثانية مثل المعادلتين :

 حيثُ أن x=8 و y=6 ، و هذه المعادلة هي الأساس التاريخي لنظرية فيثاغورس ، و كان المصريون يسمون العدد المجهول (كومة).

علم الرياضيات - مقدمة

بسم الله الرحمن الرحيم , والصلاة والسلام على خاتم الأنبياء والمرسلين؛ نينا محمد عليه وعلى آله وصحبه أفضل الصلاة وأتم التسليم أما بعد :
لاشك في أن لا شي يعادل الرياضيات فهي بتركيبها الدقيق غنية بصورة لا تضاهيها أي مادة في دقتها وقوة منطقها وشدة تناسقها، والنظرية المبرهنة رياضيا تكون بمثابة يقين عقلي مطلق بصرف النظر إذا كان منطبقا على الواقع أم غير منطبق .. الأهم أن يتسق البناء المنطقي مع نفسه .. معطيات القضية مع تواليها .. فرضياتها مع نتائجها .. المبرهنة الرياضياتية مكتملة مطلقاً في صحتها وترابطها ولا يعنيها بعد ذلك انطباقها على الواقع أو تصديقها له .. أما في العلوم الإخبارية والتجريبية فوسائلها الحواس والتصورات ومدى التناغم والصدق مع الواقع .. لذا رأينا علوم الفلك والفيزياء تتعرض للتصديق والتكذيب، فتبطل النظريات الجديدة القديمة والشواهد على ذلك في تاريخ العلوم تكاد لا تحصى .. مثل كيفية الإبصار وطبيعة الكهرباء وعلوم الفلك والتصورات حول الكون و .. الخ. لهذه الأسباب سميت المبرهنة الرياضية للدلالة على يقينها .. أما في العلوم التجريبية والإخبارية فالنظرية .. مجرد تصور .. لا يرقى لليقين المطلق الذي تحظى به المبرهنة الرياضاتية، لهذا السبب سميت الرياضيات بلقب " ملكة العلوم " .. وهذا يعني تماما أن مهمة تكوين العقل الناقد وتمليكه أدوات ومقاييس
الحكم ومفاهيم الصح والخطأ المجردة – هي مهمة تتعلق مباشرة وبالضرورة بالمنطق الرياضياتي المجرد ولا تتعلق بالحساب أو بالرياضيات التطبيقية والفيزياء فكلها لا تعدو أمثلة، وذلك لا ينفي بأي حال أن التطور الذي حققه الإنسان هو " ثمرة اتحاد الاستدلال الرياضي ( بشقيه الاستقرائي والاستنتاجي ) مع التجريب ( الفيزياء وعلوم الفلك بشكل خاص )

موضوع المدونة

انا سعيدة اليوم :) موضوعي سيتعلق بحل معادلات
اتمنى ان يعود عليكم بالفائدة وان يكون شيق .
شكراً